Интерполяция и аппроксимация

Теоретическая часть

Интерполяция – один из способов аппроксимации данных. В простейшем (одномерном) случае задача интерполяции [1-3] состоит в следующем: заданы точки (x_i, y_i), и требуется найти функцию (x), которая проходит через эти точки (см. рис. 1),

т.е.

(x_i)= y_i , .                (1)                  

Точки (x_i, y_i) называют узлами интерполяции, а функцию (x) – интерполирующей функцией или интерполянтом. Вид функции (x) определяет способ интерполяции. На практике в качестве интерполирующей функции (x) часто используются алгебраические полиномы различного вида, так как полиномы легко вычислять, дифференцировать и интегрировать. При этом интерполяция носит название полиномиальной.

Рассмотрим задачу линейной интерполяции. При этом интерполирующая функция имеет следующий вид:

,      (2)

где ₀(x), ₁(x), … , _m(x) – базисные функции.

Используя условие (1) и выражение (2), получаем систему уравнений

        (3)

Единственное решение системы (3) существует при двух условиях:

1. число точек (x_i, y_i), равно числу коэффициентов С_k, ;

2. система уравнений (3) должна быть невырожденной, т.е. определитель системы .

Таким образом, если выполняются вышеуказанные условия, то через точки (x_i, y_i) проходит единственная функция .

В случае линейной полиномиальной интерполяции базисные функции имеют следующий вид:
₀(x)= x⁰=1,  ₁(x)= x¹=x,   ₂(x)= x², … , _m(x)= x^m.
Интерполирующая функция при этом имеет вид полинома степени m:
(x)= P_m(x)=C₀ + C₁ x + C₂ x ² + … +C_m x ^m и, следовательно, система (3) примет вид

         (4)

В матричной форме систему (4) можно переписать как А*C=B, где

– матрица Ван дер Монда; ; .

Решением системы (4) будет вектор коэффициентов полинома С. Так как определитель матрицы Ван дер Монда всегда отличен от нуля (при x_i x_j), то решение системы (4) – единственное. Для решения системы (4) необходимо найти обратную матрицу A. В этом случае решением (4) будет C=A^–1*B.

Вывод: Таким образом, через заданные на интервале [a, b] точки (x_i, y_i), всегда можно провести единственный интерполяционный полином (x)=P_n(x)=C₀ + C₁ x + + C₂ x² + … +C_n x ⁿ, коэффициенты которого находятся в результате решения системы (4).

Выражение (1) определяет поведение функции (x) только в узлах интерполяции (x_i, y_i), . Между узлами (x) может вести себя произвольным образом, сколь угодно далеко, в принципе, отклоняясь от зависимости f(x). Определить погрешность приближения можно, используя выражение для абсолютной ошибки =| f(x) – (x) |.

Ошибка полиномиальной интерполяции. Лучший способ проверить качество интерполяции – вычислить значения интерполирующей функции в большом числе точек и построить график. Однако в некоторых ситуациях качество интерполянта можно проанализировать. Предположим, что величина y_i представляет собой точные значения известной функции f(x) в точках x_i. Пусть P_n(x) – единственный полином n-й степени, интерполирующий функцию по этим точкам (x_i, y_i), . Предположим, что во всех точках х[a, b] функция f(x) имеет (n+1) непрерывную производную. Тогда можно показать [1, 2], что абсолютная ошибка интерполяции (x)=| f(x)– P_n(x) | определяется выражением

,          (5)

где - максимальное значение (n+1)-й производной функции f(x) на интервале [a, b]; .

Теперь посмотрим, что получится, если интерполировать известную функцию f(x) все в большем и большем числе точек на фиксированном интервале. Выражение для погрешности (5) состоит из трех разных частей; факториал и произведение разностей с увеличением n уменьшают ошибку, но порядок производной при этом растет. Для многих функций величина M_n+1 увеличиваются быстрее, чем (n+1)!. В результате полиномиальные интерполянты редко сходятся к обычной непрерывной функции. Практический эффект выражается в том, что интерполирующий полином высокой степени может вести себя "плохо" в точках, отличных от узлов интерполяции (x_i, y_i), . Поэтому на практике часто используют интерполянты степени не выше 5-6.

Рисунок 2 – интерполяция функции Рунге полиномом степени n

Примером может служить функция Рунге [4] вида R(x)=1/(1+25x²), график которой представлен на рис. 2. С увеличением порядка интерполирующего полинома при равномерном распределении узлов интерполяции на интервале [–1, 1] происходит ухудшение качества приближения на краях интервала. Это объясняется тем, что производные R(x), которые фигурируют в выражении для погрешности интерполяции (5), быстро растут с увеличением числа n.

Точность приближения зависит не только от числа узлов интерполяции (т.е. порядка интерполирующего полинома), но и от их расположения на интервале [a, b]. В простейшем случае выбирается равномерное расположение точек (x_i, y_i), на интервале [a, b] с шагом x=(b–a)/(n–1). Однако, как показывает практика, равномерное расположение не является оптимальным с точки зрения лучшего приближения j (x) к зависимости f(x). Более оптимальным для полиномиальной интерполяции является расположение узлов на интервале [a, b] по формуле Чебышева

, .          (6)

Выражение (6) определяет так называемое оптимальное распределение узлов интерполяции на интервале [a, b].

1. Функция задана аналитически:

Постройте график функции. Осуществите интерполяцию функции. Постройте график интерполянты и погрешности интерполяции.

Выполните интерполяцию функции s(t) кубическим сплайном. Постройте графики базисных функций, кубического сплайна и погрешности интерполяции.

Выполните аппроксимацию функции. Постройте графики аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.

2. Исследовать точность приближения с помощью полинома Pn(x) следующих трех функций (см. Приложение А):

а) функции 1 из таблицы заданий на лабораторную работу;

б) полинома Pm(x) из таблицы (выполнить расчет для случаев n<m, n=m, n>m, где n - порядок интерполирующего полинома);

в) функции 2 из таблицы заданий.

По результатам испытаний для каждой исходной функции заполнить таблицу (приведена ниже) или построить график зависимости максимальной ошибки max от порядка интерполирующего полинома n (или числа узлов).

Порядок полинома Pn(x)	Максимальная ошибка max
	Равномерное распределение узлов	Оптимальное распределение узлов
4

Кроме этого, для полинома P_m(x) заполнить таблицу следующего вида (приведена ниже), т.е. привести значения коэффициентов интерполирующих полиномов P₁(x) и P₂(x), и сравнить коэффициенты исходного P_m(x) и интерполирующего P_n(x) полиномов для случаев n<m, n=m, n>m).

Порядок полинома Pn(x)	Равномерное распределение узлов		Оптимальное распределение узлов
	коэффициенты полинома P1(x)	max	коэффициенты полинома P2(x)	max
3	C0 =		C0 =
	C1 =		C1 =
	C2 =		C2 =
	C3 =		C3 =

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица П.А – Варианты заданий на лабораторную работу

№ варианта	Функция 1	Интервал	Полином Pm(x)	Интервал	Функция 2	Интервал
1				[0, 2]		[0, 10]
2				[-2, 3]		[-8, 5]
3				[-4, 1]		[-2, 4]
4				[-1, 2]		[-5, 8]
5				[-3, 2]		[-5, 5]
6				[-1, 3]		[-1, 2]
7				[-4, 7]		[0, 8]
8				[-5, 8]		[-5, 3]
9				[-2, 5]		[-3, 4]
10				[-2, 3]		[-5, 7]